Hola,
por lo del dominio: tienes que buscar uno que esté disponible (libre) y luego registrarlo (comprarlo) por un período que va desde el año hasta lo que te ofrezca la empresa donde lo compres.
Para mirar que esté disponible no es suficiente con teclear la web y que no aparezca nada: la forma correcta de hacerlo es a través de una herramienta llamada whois (por ejemplo puedes ir a http://shop.arsys.es, que desde allí puedes consultar un dominio con varias terminaciones -.es, .com, .net, etc- aunque no es necesario que se lo compres a ellos si no quieres; sólo para buscarlo).
Ahora que tienes el dominio, necesitas un pedazo de un servidor donde se aloje el contenido, para que esté disponible las 24 horas. Para ello tienes que contratar un hosting (alojamiento web). De estas empresas hay muchas y no voy a hacer publicidad de ninguna: las hay de más baratas, de más caras, las que te lo regalan todo (te regalan el dominio, a veces), te captan con precios de risa pero como contrapartida no suelen tener una efectividad/velocidad/recursos al 100%... todo va en función de si lo que quieres es profesional, súper profesional, personal-hobby, etc.
Sobre el contenido de la web, que al fin y al cabo es lo que importa: pues a mi para este tipo de contenidos no me gusta la idea de hacer un blog, pero lo que te recomiendo sin duda es un Sistema Gestor de Contenidos (CMS por sus siglas en inglés). Estos CMS normalmente son gratuítos y libres (te descargas unos ficheros, los subes al servidor previamente contratado y los configuras a través de asistentes) y suelen necesitar de una base de datos (normalmente MySQL).
Por tanto, si te interesa esta opción (ejemplos de CMS son Joomla!, WordPress, Drupal...) tu proveedor de hosting debe ofrecerte soporte para PHP y acceso a una base de datos MysQL.
Busca información sobre estos "programas" por internet (por ejemplo en la Wikipedia) y si tienes alguna duda te puedo ampliar la información.
Te adelanto que la "gracia" del CMS es que a través de un panel de control puedes modificar el aspecto gráfico de la web, añadir noticias, fotos, vídeos... y todo ello sin necesidad de tocar código ni de conocimientos de HTML, CSS ni PHP (aunque no necesarios, siempre ayudan).
Creo que no me olvido de nada, para empezar.