Como te ha comentado "gmz", estos reptiles aunque son desérticos, necesitan de un refugio húmedo, siempre disponible.
Lo puedes apañar con un tupper opaco, en el que colocarás un sustrato que mantenga la humedad, como podría ser la fibra de coco, musgo, perlita, vermiculita ... , le haces un agujero en la tapa, te aseguras que pueda entrar y salir sin problemas y a correr.
Yo tengo eubles que les encanta el refufio húmedo y no solo lo usan para mudar, sino que se tiran el día ahí metidos.
Estate atento por si le quedasen restos de piel después de mudar, si los tiene, te recomiendo que les des un baño en agua templadita, verás como ayuda.
Si dices que tu gecko no come desde que lo tienes en casa (en reyes) no es porque esté mudando.
¿En qué condiciones lo tienes?